Si buscamos en los libros, encontramos que el área del círculo se calcula usando la fórmula:

A = x r²

Pero, ¿de dónde viene esta fórmula?

Lo que vamos a hacer es romper un círculo en pequeños trozos y con ellos volver a armarlo en una forma de la cual conocemos cómo calcular su área... el rectángulo.

Tal vez te preguntes ¿cómo haremos para reordenar las piezas de un círculo y armar un rectánculo? Vamos a verlo... ¡es fácil!

Comenzaremos con el círculo que queremos dividir:

Ahora, dividiremos el círculo en 4 partes:

Luego las ensamblamos tratando de formar un rectángulo:

No es exactamente un rectángulo, ¿no? Pero no hemos terminado todavía.

Vamos a romper el círculo en trozos más pequeños, en octavos:

... y organizamos las piezas en forma rectangular:

Este, sin duda, comienza a verse como un rectángulo, ¡pero todavía falta! El siguiente paso es volver a dividir en trozos más pequeños:

Al ponerlos juntos estamos más cerca de parecerse a un rectángulo:

El objetivo es lograr una forma lo más cercana posible al rectángulo, de manera que podamos encontrar su área utilizando la fórmula del rectángulo: A = l x a

Seguimos rompiendo el círculo en piezas más pequeñas. Al ordenar todas las piezas, la forma sería algo como esto:

Esta figura es muy cercana a un rectángulo perfecto, pero puedes ver que la parte superior e inferior no están aún perfectamente rectas.

¿Puedes visualizar lo que sucederá si continuamos rompiendo el círculo en piezas cada vez más y más pequeñas?

Las piezas serían tan pequeñas que no las podríamos ver y la parte superior e inferior del rectángulo formado con ellas parecerían perfectamente rectas. Esto es lo que queremos ver:

¡Un rectánculo perfecto! Ahora, todo lo que tenemos que hacer es encontrar su área, utilizando la fórmula A = l x a

La siguiente pregunta es: ¿Cuál es el largo y el ancho de nuestro rectángulo hecho con partes del círculo?

Vamos a volver a una imagen anterior, para que puedas ver las partes del círculo más claramente:

La longitud del círculo original es la distancia alrededor, o sea la circunferencia:

La mitad de esta distancia alrededor del círculo, r, va en la parte superior del "rectángulo", y la otra mitad, también de longitud r, va en la parte inferior:

En otras palabras, sumadas la parte superior e inferior obtenemos 2r, o sea la longitud de la circunferencia.

El ancho del "rectángulo" es el radio del círculo r.

Entonces, sabemos que el largo del "rectángulo" es r y el ancho es r. Ahora podemos encontrar el área del rectángulo formado con pequeños trocitos del círculo, usando la fórmula del rectángulo:

 

¡Y allí tenemos la fórmula para el área del círculo con la cual comenzamos!