Reducción al absurdo

Para demostrar que era un número irracional, los griegos razonaron dando una demostración por reducción al absurdo.

Observa:

Si existiera un racional igual a , se escribiría como una fracción x/y , con x e y números enteros positivos.

Supongamos que simplificamos todos los factores comunes entre x e y, de modo que obtenemos la fracción a/b, que es irreducible.

Pero de = a/b se obtiene . b = a, de donde se deduce, elevando al cuadrado, que 2b² = a². Entonces, 2 divide al número entero a², y como 2 es número primo, 2 divide a a, por lo que a² es múltiplo de 4, es decir, a² = 4k, con k algún número entero.

Luego, para b se cumple 2b² = 4k, de donde b² = 2k, o sea, b² es múltiplo de 2, el que es primo, por lo que 2 divide a b, pero entonces 2 divide a a y a b, aun si no tenían factores comunes, lo cual es una contradicción. Entonces, la suposición de que es un número racional es incorrecta.