Adrián Paenza nos acerca historias que tienen a la Matemática como protagonista.
Transcripción
Los números primos son aquellos números que son divisibles por sí mismo y por uno. Por ejemplo, el número dos. Ustedes lo pueden dividir por dos. O lo puede dividir por uno. El número cuatro, sin embargo, uno lo puede dividir por uno, por dos y por cuatro. O sea, el cuatro dividido dos es exacto también. Eso es lo que uno no quiere. Esos son los no primos. El cinco, por ejemplo, sí que se divide únicamente por cinco y por uno en siete, también por siete y por uno. Lo que quiero hacer ahora es mostrarles un ejemplo en donde hay una diferencia muy clara entre un número primo y un número no primo que se llama compuesto. Supongamos que hay 48 sillas para armar un auditorio para una charla, por ejemplo. Pueden acomodarse en seis filas de ocho sillas cada una, cuatro filas de 12 sillas, o bien ocho filas de seis sillas, o bien tres filas de dieciseis sillas, etcétera. Ahora imagínense que se rompe una edad nada más que 47.
Ahora las podemos seguir dividiendo en distintos grupos de filas, de manera que quede todo simétrico y bien ordenado. Es posible encontrar un número que nos permita armar filas exactamente iguales. Si queremos armar filas de dos sillas, nos sobra uno. Si queremos armar filas de tres sillas, nos sobran dos. Si quisiéramos armar filas de cuatro sillas, nos van a sobrar tres. No importa cómo queramos acomodarlas, siempre nos van a sobrar sillas. La única forma de acomodar las 47 sillas es armar una única fila de 47 o 47 filas de una sola silla, lo que es poco práctico. Y además necesitaríamos un auditorio muchísimo más grande. Ahora, claro, el número 48 es un número que se escribe como producto de muchos números primos. Mira al 48, podemos verlo como seis por ocho, pero ni seis ni ocho son primos. Con lo cual el seis es dos por tres y el ocho es dos por dos por dos. Con lo cual el número 48 queda descompuesto en el producto de cuatro números dos y un tres, o sea, dos por dos, por dos, por dos por tres.
Y esta es la única forma de descomponer al 48 como producto de números primos. Y no se puede seguir descomponiendo porque los números primos son indivisibles. Justamente por eso se llaman primos. Los números primos vienen a ser algo así como los bloques sitos más chiquititos de los cuales están compuestos todos los números. O sea, o un número es primo o se escribe como producto de muchos primos o de algunos primos. Pero en definitiva, los números primos son los más chiquititos, los bloques itos. Algo así como los genes dentro del cuerpo humano o si ustedes quieren, como los átomos componiendo la materia. Por eso, como el número 48 está compuesto de tantos números primos, es que uno puede hacer tantas divisiones en filas como hemos visto recién. En cambio, ya con el 47 todas esas posibilidades se esfuman. Cómo hacer para determinar entonces si un número es primo o no? Hace muchos siglos, alguien conocido con el nombre de Eratóstenes en Alejandría diseñó un método, un método que se hizo muy famoso y es muy sencillo, y se llama la criba de Eratóstenes.
Aquí está. Escribimos todos los números del uno al 100. El uno no se considera primo y por eso lo tachamos. El primer número sin tachar es el dos. Ese es el primer primo. El número dos. Pero todos los múltiplos de dos mayores que el dos no son primos y por eso los tachamos. El siguiente número sin tachar es el tres, que es el segundo número primo, pero a continuación tachamos todos los múltiplos de tres que siguen al tres. El siguiente número sin tachar es el cinco, que resulta ser el tercer primo y a continuación tachamos todos los múltiplos de cinco que siguen y así sucesivamente. Los sobrevivientes de este campeonato de tachaduras van a ser los números primos que hay entre el uno y el 100. Y este procedimiento se puede hacer no solamente para los primeros 100 números, sino para la cantidad de números que uno quiera. Esto permite determinar si un número es primo o no, puede ser una tarea tediosa, pero en definitiva se trata solamente de saber dividir. Les voy a contar para qué se usan los números primos.
En realidad, el que se nos va a contar es un experto en criptografía que tiene en la Argentina el doctor uno Shkolnik.
Los números primos se utilizan fundamentalmente para hacer lo que se llama firma digital, que es una técnica que permite que uno pueda hacer operaciones en Internet firmando como si estuviera presente, con lápiz y papel o tinta y etcétera. Entonces, eso consiste en que cada persona tiene dos claves una que se publica, por eso se llaman clave pública y otra privada que es secreta, pero ambas tienen un número en común. Ese número es el producto de los números primos y son primos tan grandes que es fácil multiplicarlo para conseguir ese número N Pero dado el DNI, es imposible volver atrás y conseguir los números primos que lo componen. Ahí radica su seguridad. O sea, cuando uno dice diez, como se componen factores primos de dos por cinco que son muy simples. Ahora, si el número tiene 300 dígitos, ya la cosa no se puede hacer ni aún con la computadora más poderosa que existe. Lo interesante es que hace 2300 años se generaron resultados que en ese momento eran ciencia pura, o sea, no tenía ninguna aplicación.
Durante más de dos milenios la humanidad vio como se inventaban cosas en la parte quizás más pura de la matemática en la teoría de números, sin ninguna aplicación concreta. Y hoy en día esos resultados tal cual están, se utilizan para todo el comercio electrónico mundial, que es algo que mueve miles de millones de dólares. Entonces creo que es una excelente elección sobre el hecho de que hay que apoyar a la ciencia en todas sus dimensiones, porque uno nunca sabe cuando algo se va a volver aplicable.
Pero.
Y entonces los números primos y sus propiedades, que en principio parecía no tener conexión con la realidad. Sin embargo, la manera de tener certeza de que cuando uno manda el número de tarjeta de crédito por Internet y quiere estar seguro de la privacidad y la seguridad está relacionado con los números primos, la criptografía, un cajero automático cuando uno va a retirar dinero. Es decir, los números primos también están metidos en nuestra vida cotidiana.
Dentro de un Bar. Quiere ofrecerle a sus clientes la mayor variedad de sánguches posibles, pero solo dispone de diez ingredientes. Cuántos sándwiches distintos se pueden armar? Diez, 100. Y se alcanza para mil? Cuántas opciones puede ofrecer, en todo caso, en su menú del bar? Ese es el desafío. Eso es lo que hay que pensar.
En este minuto. Teníamos pan, aceitunas, lechuga, tomate, jamón crudo, pepino, queso, repollo, salame, zanahoria y jamón cocido. Teníamos también un bar y un problema. Cuántas variedades de sándwiches se pueden ofrecer a los clientes?
Se tienen entonces diez ingredientes y el bar pudo armar una carta con 1024 variedades distintas, sin contar el pan que debe estar siempre. Cada ingrediente puede estar o no estar. De esta manera, cada elemento multiplica por dos las opciones posibles.