Euclides usó un razonamiento diferente para demostrar que el conjunto de ternas pitagóricas no tiene fin.
Y hay infinitos números impares.
La prueba se basa en que la diferencia de dos cuadrados de números consecutivos es siempre un número impar.
Por ejemplo:
- 32 - 22 = 9 - 4 = 5
- 102 - 92 = 100 - 81 = 19.
Y además, todos los números impares pueden escribirse como una diferencia de dos cuadrados de números consecutivos. En esta tabla se ve:
| n |
|
|
n2 |
|
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diferencia |
| 1 |
|
|
1 | |
|
|
| 2 | |
|
4 | |
|
4 - 1 = 3 |
| 3 | |
|
9 | |
|
9 - 4 = 5 |
| 4 | |
|
16 | |
|
16 - 9 = 7 |
| 5 | |
|
25 | |
|
25 - 16 = 9 |
| ... | |
|
... | |
|
... |
Como hay infinitos números impares y algunos de ellos son cuadrados perfectos, hay un número infinito de cuadrados impares. Por tanto, hay infinitas ternas pitagóricas.